Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

1.      Qué es una transformación lineal

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea, una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal.

2.      Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal

Sea T: v -à w una transformación cualquiera donde v y w son espacios vectoriales de dimensión finito, entonces T es una transformación lineal si y solo si, t cumple con estas dos propiedades:

a)      T (u + v) = T(u) + T(v) para todo u, v en V

Esa suma está en v – Esa suma está en w.

b)      T (α u) = α T( u) para todo α en R y para todo u que pertenece a V

Lo que se hace es aprobar si la transformación cumple o no cumple con estas dos condiciones.

Si cumple es lineal, sino cumple en una, entonces no es lineal.

3.      Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

a)      Teorema 1 Sean T: V→W una transformación lineal, v1, v2,…, Vn vectores de V y λ1,  λ2, . . . ,λn escalares de R.

Entonces

T (λ1v1+λ2v2+. . .+ λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) +. . .+ λn T(vn).

De este resultado, se tiene trivialmente que una transformación lineal asigna el vector cero del dominio en el vector cero del codominio.

b)      Teorema 2 Sean B= {v1, v2 ,…, vn} una base del espacio vectorial V y T:V→WyS:V→W dos transformaciones lineales.

T = S, si y solo si, S(v1) =T(v1), S(v2) =T(v2), . . . , S(vn) =T(vn).

c)      Teorema 3 Si B = {v1,v2, . . . ,vn} es una base del espacio vectorial V, existe una única transformación T: V W, tal que w1 = T (v1), w2= T (v2), . . . ,wn = T(vn) con w1,w2, . . . ,wn W.

d)      Teorema 4 Sean V y W espacios vectoriales y T : V→W una transformación lineal.

Entonces

Nu(T) es subespacio vectorial de V

Im(T) es subespacio vectorial de W.

e)      Teorema 5 Dadas la transformación lineal T: V→W, con V y W espacios vectoriales de dimensión finita y las bases B = {v1,v2, . . . ,vn} y B′ de V y W, respectivamente, la matriz asociada a la transformación T respecto de estas bases, [AT], es la única matriz tal que, para todo v V

[T(v)] B′= AT[v] B.


4.        Un ejemplo de una transformación lineal


    5.      Cómo probar esa transformación lineal.


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