Espacios vectoriales

Espacios vectoriales

• Qué son los espacios vectoriales.

R/ Se tiene un conjunto no vacío de objetos y ahí se define una suma de dos objetos y una multiplicación de un objeto por un escalar cualquiera, si con esa suma y esa multiplicación cumple con diez propiedades, el conjunto con esa suma y esa multiplicación recibe el nombre de espacio vectorial

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

R/ Son 10

1.-Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V (Cerradura bajo la suma).

2.- Para todo x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y +z) (Ley asociativa de la suma de vectores).

3.- Existe un vector 0 Є V tal que para todo x Є V, x + 0 = 0 + x = x

4.- Si x Є V, existe un vector – x en V tal que x + ( – x ) = 0 ( – x se llama inverso aditivo de x)

5.- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores).

6.- Si x Є V y α es un escalar, entonces α x Є V (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

7.- Si x y y están en V y a es un escalar, entonces a(x + y) = ax + ay (Primer Ley Distributiva).

8.- Si x Є V y a y β son escalares, entonces (a + β)x= ax + βx (Segunda ley distributiva)

9.- Si x Є V y a y β son escalares, entonces a (βx) = (a β)x (Ley asociativa de la multiplicación por escalares)

10.- Para cada vector x Є V, 1x = x

• Qué es un subespacio vectorial.

R/ Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 

 

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

R/ Un subespacio vectorial de Rn es cualquier colección de vectores S tal que:

1-   El vector cero 0 está en S

2-   Si u y v están en S, entonces u + v está en S

3-   Si u está en s y c es un escalar, entonces c.u está en S.

 

• Explique cuáles son las dimensiones y el rango de un subespacio y que es una base.

Dimensiones:

La dimensión de un subespacio H diferente de cero, denotada mediante dim H, es el número de vectores que hay en cualquier base de H. La dimensión del subespacio cero {0} es, por definición, cero

Rango de un subespacio:

El rango de una matriz A, denotado mediante rango A, es la dimensión del espacio columna de A. Como las columnas pivote de A forman una base para Col A, el rango de A es simplemente el número de columnas pivote en A. Ejercicio. Determine el rango de la matriz

• BASES:  Base.  Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

        Propiedades de las bases.

     1. Una base de S es un sistema generador mínima de S (lo más pequeño             posible).

     2. Además es un conjunto independiente máxima dentro de S (lo más grande          posible).

     3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como                            combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.