Matrices Especiales

Matrices especiales

El uso de las matrices es esencial en las matemáticas, tanto que se utilizan en prácticamente todas sus disciplinas. Por esta razón, existen propiedades y teoremas para matrices con una determinada forma. Por ejemplo, el algoritmo de un ordenador que resuelve un sistema de ecuaciones puede ser mucho más eficiente si la matriz es triangular, y todavía más, si la matriz es diagonal.

Importante 

-          Una matriz de dimensión nxn (mismo número de filas que de columnas) es una matriz cuadrada de dimensión n

-          Si el número de filas y el de columnas son distintos, la matriz es rectangular.

Tipos de matrices

Matriz identidad

Una matriz identidad o unidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1). Además, la matriz identidad se reconoce por tener forma a cuadrado dado que es una matriz cuadrada.

 

Matriz diagonal

una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas de las diagonales de la matriz son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no.

Matriz bidiagonal

Matriz tridiagonal

Matriz traspuesta

Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

Matriz triangular

Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal.

 

 

Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal.

Matriz adjunta

Dada una matriz cuadrada A, su matriz de adjuntos o matriz de cofactores cof(A) es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A

  

Matriz simétrica

Una matriz A es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, A=AT. Como consecuencia

de la definición, la matriz A tiene que ser cuadrada.

Matriz antisimétrica

 Una matriz A es antisimétrica si es la matriz opuesta de su traspuesta, es decir, A=−AT. Como consecuencia de la definición, la matriz A tiene que ser cuadrada.

 

Matriz definida positiva

Una matriz A de dimensión mxn es definida positiva si para todo vector x=(x1,...,xn)

se cumple 

 

Si se cumple con la desigualdad ≥, diremos que la matriz es semi definida positiva.

Matriz diagonalmente dominante 

Una matriz es estrictamente dominante diagonalmente cuando los elementos de la diagonal principal son mayores en valor absoluto, que la suma de los valores absolutos de los demás elementos de la fila correspondiente.

Matriz Hessenberg

Una matriz cuadrada $A$ de dimensión $n>1$ es Hessenberg superior si todos los elementos bajo la diagonal -1 son nulos

Una matriz cuadrada A de dimensión n>1 es Hessenberg inferior si todos los elementos sobre la diagonal 1 son nulos.

Matriz de Vandermonde 

Es una matriz que presenta una progresión geométrica en cada fila. Esta matriz recibe dicho nombre en honor al matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde.

Si es de dimensión 3, tiene la forma

Ejemplo de una matriz Vandermonde de dimensión 4: