Descripción de los sistemas numéricos y sus conversiones

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Sistemas de numeración


Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal. Estos se identifican por tener una base (diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente)

sistemas decimal

Sistema binario

Sistema octal

Sistema hexadecimal 


Conversión de Binario A Decimal

Para poder transformar números binarios en su correspondiente decimal basta multiplicar el dígito binario (que sólo puede ser 0 o 1) por 2 elevado a la potencia correspondiente según la cantidad de dígitos de la cifra. Luego se suman los valores obtenidos y se consigue el número final.

Ejemplos

100011= 1*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 =
32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 =
35

101= 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 =
4 + 0 + 1 =
5


Conversión de Binario A Hexadecimal



Para efectuar esta conversión hay que agrupar los bits de a cuatro comenzando con los primeros 4 bits de derecha a izquierda
.



Ejemplos


011011010101 = 0110 1101 0101

0110 =____ 4
1101 = 13 = D
0101 =____ 5


0110 1101 0101 = 4D5


111101011001 = 1111 0101 1001

1111 = 15=_ F
0101 =____ 5
1010 = 10 = A
1111 0101 1001 = F5A




Conversión de Binario a Octal 

Para establecer la conversión escribiremos los números de 0 a 7, tanto en octal como en binario:



Ejemplo




Convertir el siguiente número binario a octal: 10111012 → ?8.

 Para convertirlo comenzaremos tomando los tres primeros dígitos del número binario “101” de derecha a izquierda, luego los tres siguientes “011” y por último, como nos faltan dígitos, le agregaremos ceros “001”.


Representaremos cada uno de estos números observando la tabla mostrada anteriormente:

101 = 5

011 = 3

001 = 1

Agrupamos los números octales en el orden del binario:


10111012 → 1358


Conversión de Decimal a Binario

Para convertir un número decimal a otro sistema, el número decimal es sucesivamente dividido por la base del sistema. en este caso la base del sistema binario es 2 el número será sucesivamente dividido entre 2 y el resultado del cociente sera nuevamente dividido entre 2 y asi sucesivamente hasta que el cociente sea 0. El resto de cada división es un número binario que conforma el número resultante de la conversión. El primer resultado producido (el primer resto obtenido) corresponde al bit mas próximo al punto decimal (o lo que se conoce como bit de menor peso). Los sucesivos bits se colocan a la izquierda del anterior. Notese que esto es como escribir en sentido contrario al empleado normalmente.

Ejemplos


20



20/2 = 10 Residuo = 0

10/2 = 5 Residuo = _0
5/2 = 2 Residuo = __1
2/2 = 1 Residuo = __0
1/2 = ? Residuo = __1 

El 1 ya no se puede dividir entre 2 pero se coloca el 1

20 = 10100

17



17/2 = 8 Residuo = 1

8/2 = 4 Residuo = _0 
4/2 = 2 Residuo = _0
2/2 = 1 Residuo = _0
1/2 = 0 Residuo = _1


17 = 10001



Conversión de Decimal a Octal



En esta caso basta usar el mismo método de conversión con los números binarios. Pero en vez de hacer divisiones sucesivas entre 2 hay que efectuarlas entre 8. Nótese que el divisor corresponde a la base del sistema al cual se va a convertir.

Ejemplos

125 (Octal)

125/8 = 15 Residuo = 5
15/8 = 1 Residuo = __7
1/8 = 0 Residuo = ___1
125 (Octal) = 175 (Decimal)


175 (Octal)

175/8 = 21 Residuo = 7
21/8 = 2 Residuo = __5
2/8 = 0 Residuo = ___2
175 (Octal) = 257 (Decimal)



Conversión de Decimal a Hexadecimal


Para convertir un número de decimal a hexadecimal hay varios métodos de hacerlo. El que personalmente me parece más sencillo consiste en pasar el número de decimal a binario.

Una vez que lo tenemos, pasaremos de binario a hexadecimal. Para ello hacemos agrupaciones de 4 números empezando por la derecha. Si al llegar al final no nos queda un grupo de cuatro números, rellenamos con ceros a la izquierda hasta completar los dígitos que falten.

Finalmente, buscamos la equivalencia de los grupos de 4 dígitos en binario con su correspondiente símbolo en hexadecimal.

Ejemplo

Vamos a pasar a hexadecimal el número decimal 73. Como hemos dicho antes, lo primero que haremos será convertirlo a binario:

73(d) = 1001001(b)

Ahora hacemos grupos de cuatro símbolos empezando por la derecha y nos queda así:

0100 1001

Como no teníamos suficientes dígitos, hemos rellenado con un cero a la izquierda para tener un segundo grupo de cuatro símbolos.

Finalmente, buscamos la correspondencia de los grupos en binario con su equivalente en hexadecimal y tenemos que:

0100(b) = 4(h)

1001(b) = 9(h)

Por lo tanto, concluimos que el número 73 en decimal equivale al 49 en hexadecimal.


Conversión de Hexadecimal a Binario

Para efectuar la conversión basta con colocar los cuatro bits correspondientes a cada símbolo del número hexadecimal.

Ejemplos


4B2 = 4 11 2


4 = 0100
11 = 1011
2 = 0010

4B2 = 0100 1011 0010




BABA = 11 10 11


11 = 1011
10 = 1010
11 = 1011
10 = 1010



BABA = 1011 1010 1011 1010



Conversión de Hexadecimal a Decimal



Este es el método que mas me gusta para encontrar el equivalente decimal de un número hexadecimal, primero, se debe convertir el número hexadecimal a binario, y después, el binario a decimal. 


Ejemplos


 Convertir a decimal los siguientes números hexadecimales:

(a) 1C16   (b) A8516


Solución. Primero, hay que convertir a binario el número hexadecimal, y después a decimal:


Conversión de Hexadecimal a Octal

la mejor forma para mi es pasarlo a binario y despues a octal recordando que 4 valores forman un hexadecimal, y 3 valores un octal.




Ejemplo


Hexa
F5 para pasarlo a binario , traduzo la F y el 5 a su valor correspondiente en binario 

F=1111
5=0101
entonces F5= 11110101 

y ahora en binario separo en 3 de derecha a izquierda 

101
110
011 

y ese valor de binario lo paso a octal
365 
Fuente: 

Conversión de Octal a Binario

Es sencillo se  toma el número en octal y se saca su equivalencia binaria a cada dígito en tres bits. 
Ejemplo 

Ejemplo

456 octal a binario 
4 = 100 
5 = 101 
6 = 110 

por tanto el 456 octal a bianrio queda: 
100101110




Conversión de Octal a Decimal

Veamos ahora como pasar números Octales a Decimales:


Ejemplo




Conversión de Octal a Hexadecimal

Debido a que no hay una forma directa de realizar esta transformación, lo que debemos hacer es transformar el numero a binario y luego el numero binario debemos transformarlo a Hexadecimal.


Aplicaciones de los sistemas numéricos

Sistema Binario:

  • - La bombilla eléctrica (encendido o apagado)
  • - Fotocelda (iluminada u oscura)
  • - Embrague mecánico (engranada o desengranada)
  • - Termostato (abierto o cerrado)
  • - Computadores y aparatos electrónicos (niveles de voltaje, encendido y apagado.

Sistema Decimal:

  • - Los utilizamos para contar, para expresar el resultado de una medida, para realizar cálculos. 
  • - Utilizamos números para codificar información diversa: textos, imágenes, sonidos y vídeos. 
  • - Se utiliza en el sistema métrico en donde las unidades van aumentando de 10 en 10, siendo 10 la unidad. 
  • - Se utiliza en el campo de la física en donde las unidades de algunas magnitudes escalares y derivadas se basan en el sistema decimal (prefijos).

Sistema Hexadecimal:

  • - El sistema hexadecimal es muy usado en el campo de los microprocesadores o PIC´s (circuito programable integrado).
  • - Un microcontrolador es un circuito integrado programable, capaz de ejecutar las ordenes grabadas en su memoria. 
  • - Para nombrar a los microprocesadores se utilizan códigos en hexadecimal.

Sistema Octal:

  • - En informática a veces se utiliza para la numeración octal en vez de la hexadecimal, y se suele indicar poniendo 0x delante del número octal. 
  • - Para trabajar la computadora, esta agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales se denomina byte. 
  • - Es posible que la numeración octal se usara en lugar de la decimal, para contar los espacios interdigitales. 







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